Геометрическая прогрессия в русских задачах
Задача 1
Проторговался ли купец?
(Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого)
Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо,- ответил продавец,- если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь-четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?
Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо,- ответил продавец,- если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь-четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?
Решение:
За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить
копеек. Сумма эта равна
копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу
Задача 2
Сделка
Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?
Решение:
Считают “мужик” и “купец”
“Мужик” заплатил: S30=100 000• 30=3 000 000 (рублей).
“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.
S30 =1• (230 – 1)/(2-1)= 230 -1= 1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23 коп
Считают “мужик” и “купец”
“Мужик” заплатил: S30=100 000• 30=3 000 000 (рублей).
“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.
S30 =1• (230 – 1)/(2-1)= 230 -1= 1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23 коп
Задача 3
Волшебное дерево. (Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого)
Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней «достанет» до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м?
Решение:
Значит, высота дерева на 36 день – 236
Если бы его высота в начальный момент времени была 8м, то
8*2n=236
23*2n=236
n=33
Через 33 дня дерево достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м
Ответ: 33 дня
Если бы его высота в начальный момент времени была 8м, то
8*2n=236
23*2n=236
n=33
Через 33 дня дерево достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м
Ответ: 33 дня
Задача 4
Задача Баше о наборе гирь. (1950 Депман И.Я. - Из истории математики)
Чтобы взвесить любое целое число килограммов от 1 до 40, по мнению большинства людей необходимо иметь 6 гирь: 1, 2, 4, 8, 16 и 32 кг. Действительно, такой набор гирь позволяет взвесить любой груз от 1 до 40 кг, помещая его на одну чашу весов и ставя на другую следующие комбинации гирь:
1 кг=1, 2 кг=2, 3 кг=2+1, 4 кг=4, …, 5 кг=4+1, …, 40 кг=32+8.
Но грузы можно взвешивать и по-другому, а именно: располагая гири на обеих чашах весов, т. е. не только на чаше, свободной в начале взвешивания, но и на чаше с грузом. При таком способе взвешивания Баше понадобились только 4 гири: 1, 3, 9 и 27 кг. Гиря, помещаемая на одну чашу с грузом, как бы приобретает отрицательный вес. Способ Баше позволяет взвесить любой груз от 1 до 40 кг, ставя гири на обе чаши весов в следующих комбинациях:
1 кг=1, 2 кг=3–1, 3 кг=3, 4 кг=3+1, 5 кг=9–3 — 1, …, 40 кг=27+9+3+1.
Задача 5
Старинная русская задача
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько воробьёв?
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько воробьёв?
Решение:
По формуле n-го члена геометрической прогрессии находим 6-ой член:
S6=76= 117 649
Ответ: 117 649
Задача 6
По формуле n-го члена геометрической прогрессии находим 6-ой член:
S6=76= 117 649
Ответ: 117 649
Задача 6
Стадо овец
По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался.
По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался.
Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.
Решение:
По формуле суммы геометрической прогрессии:
S20=1*(220 -1)/2-1 = 1048575 копеек
Ответ: 1048575 копеек.
По формуле суммы геометрической прогрессии:
S20=1*(220 -1)/2-1 = 1048575 копеек
Ответ: 1048575 копеек.
Задача 7
(Из старинных русских рукописей XV-XVIII вв.)
Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?
Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?
Решение:
Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию.
Всех яблок: S64=(1*264-1)/2-1 = 264-1
Денег будет: (264-1)/2000
Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию.
Всех яблок: S64=(1*264-1)/2-1 = 264-1
Денег будет: (264-1)/2000
Задача 8
«Косари на лугу» (из старинных сборников задач)
Было два луга: один в 6 десятин, другой в 3. На большой луг пришла партия косарей и косила его полдня. После обеда партия разделилась пополам: одна половина осталась на большом лугу и к вечеру докосила его, а другая пошла на малый луг и косила его, но к вечеру не кончила. На другой день на малый луг пришел один человек. Он косил целый день и к вечеру кончил. Сколько
человек было во всей партии косарей
Решение:
Большой луг косила полдня вся партия, а полдня – полпартии. Значит, до обеда было скошено вдвое больше, чем после обеда, или до обеда 4 десятины, а после 2. Следовательно, вторая половина партии скосила на малом лугу тоже 2 десятины, и осталось скосить 1 десятину. Итак, всего вся партия выкосила в первый день: 6+2=8 (десятин). Оставшуюся 1 десятину на малом лугу косил один человек 1 день. Если один человек в один день выкосил 1 десятину, то очевидно, что партия, выкосившая в один день 8 десятин, состояла из 8 человек.
Ответ: 8 человек.
Большой луг косила полдня вся партия, а полдня – полпартии. Значит, до обеда было скошено вдвое больше, чем после обеда, или до обеда 4 десятины, а после 2. Следовательно, вторая половина партии скосила на малом лугу тоже 2 десятины, и осталось скосить 1 десятину. Итак, всего вся партия выкосила в первый день: 6+2=8 (десятин). Оставшуюся 1 десятину на малом лугу косил один человек 1 день. Если один человек в один день выкосил 1 десятину, то очевидно, что партия, выкосившая в один день 8 десятин, состояла из 8 человек.
Ответ: 8 человек.
Задача 9
Задача из «Русской правды» 11 век
«Вычислить приплод от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца
ежегодно приносит одну овцу и одного барана».
Решение:
Количество овец удваивается каждый год, поэтому по формуле суммы геометрической прогрессии мы находим количество овец через 12 лет:
S12 = 22*(212 -1)/(2-1) = 90090 овец
Количество баранов тоже удваивается, но начиная со второго года
S11 = 22*(211 -1)/(2-1) = 45034 баранов
Всего овец и баранов по истечению срока будет
90090 + 45034 = 135124.
Вычитаем начальное количество овец и получаем, что приплод равен 135124 голов
Ответ: 135124
S12 = 22*(212 -1)/(2-1) = 90090 овец
Количество баранов тоже удваивается, но начиная со второго года
S11 = 22*(211 -1)/(2-1) = 45034 баранов
Всего овец и баранов по истечению срока будет
90090 + 45034 = 135124.
Вычитаем начальное количество овец и получаем, что приплод равен 135124 голов
Ответ: 135124
Задача 10
Задача из «Русских математических рукописей» XV-XVII века.
«Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?»
Решение:
S8 = 408 =6 553 600 000 000
Ответ:6 553 600 000 000
Ответ:6 553 600 000 000
Задача 11
Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого
Садовник продал первому покупателю половину яблок и ещё пол-яблока, второму- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока, третьему- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока и т.д., седьмому половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. После этого у него яблок не осталось. Сколько яблок было у садовника?
Решение:
Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил x/2+1/2=(x+1)/2,
второй 1/2(x-(x+1)/2)+1/2=(x+1)/22,
третий 1/2(x-(x+1)/2-(x+1)/4)+1/2=(x+1)/23,
седьмой покупатель (х+1)/27.
Имеем уравнение (х+1)/2+(х+1)/22+(х+1)/23+...+(х+1)/27=x
или (x+1)(1/2+1/22+1/23+...+1/27)=x.
Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x+1)=1-1/27
и х=27-1=127.
Всех яблок было 127.
Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил x/2+1/2=(x+1)/2,
второй 1/2(x-(x+1)/2)+1/2=(x+1)/22,
третий 1/2(x-(x+1)/2-(x+1)/4)+1/2=(x+1)/23,
седьмой покупатель (х+1)/27.
Имеем уравнение (х+1)/2+(х+1)/22+(х+1)/23+...+(х+1)/27=x
или (x+1)(1/2+1/22+1/23+...+1/27)=x.
Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x+1)=1-1/27
и х=27-1=127.
Всех яблок было 127.
Задача 12
Задача из старинного русского сборника
«В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?». Эту задачу можно решить логически и, применяя понятие прогрессии.
Решение:
Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии
1*(3n-1)/(3-1)=16001
3n=16001
Sn =b1*(q9-1)/(q-1)=1*(39-1)/(3-1)=(19683-1)/2 = 9841
9841>8000
На 9-ом шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10:00 утра.
Ответ: 10:00
Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии
1*(3n-1)/(3-1)=16001
3n=16001
Sn =b1*(q9-1)/(q-1)=1*(39-1)/(3-1)=(19683-1)/2 = 9841
9841>8000
На 9-ом шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10:00 утра.
Ответ: 10:00
Задача 13
Задача из старинного русского учебника математики: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795)
Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению воин получил
вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
Решение:
Составляем уравнение 65535 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2x-1
Или
65535 = (2x-1 × 2 - 1)/(2 - 1) = 2x-1
откуда имеем:
65536=2x
x=16
Ответ: 16 ран
Составляем уравнение 65535 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2x-1
Или
65535 = (2x-1 × 2 - 1)/(2 - 1) = 2x-1
откуда имеем:
65536=2x
x=16
Ответ: 16 ран
Задача 14
Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого
У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь
мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
Решение:
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего
74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19607.
С точки зрения геометрической прогрессии имеем:
b1 =7
q =7
n=5
S5=(b1*(qn-1))/(q-1) = (7*(75-1))/(7-1) = 19607
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего
74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19607.
С точки зрения геометрической прогрессии имеем:
b1 =7
q =7
n=5
S5=(b1*(qn-1))/(q-1) = (7*(75-1))/(7-1) = 19607
Ответ: 19607
Задача 15
Переменка. (Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого)
Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя до двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1м, второй 1/2м, третий 1/4м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше предыдущего. Дойдёт ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3м?
Решение:
q=0.5
b1 = 1
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S=b1/(1-q) = 1/(1-0/5) = 2 (м)
2м<3м => не дойдёт
Ответ: не дойдёт
b1 = 1
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S=b1/(1-q) = 1/(1-0/5) = 2 (м)
2м<3м => не дойдёт
Ответ: не дойдёт
Задача 16
Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого
"Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?"
Способ решения Магницкого (методом ложного положения или фальшивым правилом) можно посмотреть тут.
Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да
Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да
еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?
Решение:
Представим числа, выражающие количество учеников, в виде членов убывающей геометрической прогрессии, где q=0,5.
Составим уравнение: b1 + b1 + b2 + b3 + 1 = 100
bn = b1*qn
2b1 + b1q + b1q2 = 99
b1(2 + q + q2) = 99
b1(2 + 1/2 + 1/4) = 99
b1=99*4/11=36
Составим уравнение: b1 + b1 + b2 + b3 + 1 = 100
bn = b1*qn
2b1 + b1q + b1q2 = 99
b1(2 + q + q2) = 99
b1(2 + 1/2 + 1/4) = 99
b1=99*4/11=36
Ответ: 36 учеников
Задача 17
Задача из старинного русского задачника по арифметике Ефима Войтяховского "Полный курс чистой математики" (1809).
"У приезжего гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына [алтын - 3 копейки] без полушки [1/4 копейки]; но фрак в полтретья [2 1/2 раза] дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.
Решение:
Приведем стоимость вещей к одной единице измерения - копейкам: три алтына без полушки = 3×3-1/4=35/4.
Представим числа, выражающие цену каждого вида одежды, в виде членов геометрической прогрессии, где
q=2,5; S2 = 35/4; b2 = b1q.
b1 + b1q = S2
b1 + 2,5b1 = 35/4
b1 = 35/4 : 3,5 = 2,5
Ответ: 6 1/4 и 2 1/2.
Представим числа, выражающие цену каждого вида одежды, в виде членов геометрической прогрессии, где
q=2,5; S2 = 35/4; b2 = b1q.
b1 + b1q = S2
b1 + 2,5b1 = 35/4
b1 = 35/4 : 3,5 = 2,5
Ответ: 6 1/4 и 2 1/2.
Задача 18
Задача из старинного русского задачника по арифметике Ефима Войтяховского "Полный курс чистой математики" (1809).
"Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить свое богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро [платье]
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта [3 1/2 раза] дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена".
Решение:
Приведем стоимость вещей к одной единице измерения - копейкам: с половиною четыре алтына = 3×4,5=13,5 копейки.
Представим числа, выражающие цену каждого вида одежды, в виде членов геометрической прогрессии, где
q=3,5; S2 = 13,5; b2 = b1q.
b1 + b1q = S2
b1 + 3,5b1 = 13,5
b1 = 13,5 : 4,5 = 3
Цена чепца, по мнению мадамы, - 3 копейки. Цена оценщика вполовину меньше – 1,5 копейки, тогда нарядное фуро стоит 1,5*3,5= 5,25.
Ответ: 5 1/4 и 1 1/2.
Задача 19
Представим числа, выражающие цену каждого вида одежды, в виде членов геометрической прогрессии, где
q=3,5; S2 = 13,5; b2 = b1q.
b1 + b1q = S2
b1 + 3,5b1 = 13,5
b1 = 13,5 : 4,5 = 3
Цена чепца, по мнению мадамы, - 3 копейки. Цена оценщика вполовину меньше – 1,5 копейки, тогда нарядное фуро стоит 1,5*3,5= 5,25.
Ответ: 5 1/4 и 1 1/2.
Задача 19
Числа, выражающие длину, ширину и вышину прямоугольного параллелепипеда, образуют геометрическую прогрессию; площадь основания параллелепипеда равна 108 м2, а полная поверхность 888 м2. Определите измерения параллелепипеда.
Дано: Sосн = 108 м2
Sобщ = 888 м2
AB, BC и BВ1 образуют геометрическую прогрессию.
Найти: AB, BC и BВ1
Решение:
S = AB*BC; s = 2(AB*BC+AB*BВ1+BC*BВ1)
Получаем два уравнения:
108 = AB*BC
888 = 2(AB*BC+AB*BВ1+BC*BВ1)
Если, AB = x, то BC = x*y, BВ1 = x*y2
x2*y = 108
888 = 2(180 + 180*y + 180*y2)
108y2 + 108y - 336 = 0
y1 = 1,(3)
y2 = -2,(3)
x2*1,(3) = 108
x2 = 81
x = 3 =>
AB = 3, BC = 4, BВ1 = 5,(3)
Ответ: 3; 4; 5,(3)