Треугольник Паскаля 

 

 Блез Паскаль, французский математик XVII века, описал эту своеобразную таблицу в “Трактате об арифметическом треугольнике”.  

 

Треугольник Паскаля часто изображают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из последующих чисел равно сумме двух чисел, которые стоят над ним слева и справа.

 

Арифметические прогрессии высших порядков 

Определение: Арифметической прогрессией n-го порядка, где n > 1, называют последовательность чисел, разности которых образуют прогрессию порядка n − 1.

    Заметим, что k-й член прогрессии порядка n+ 1, равен сумме k первых членов прогрессии порядка n. Поэтому диагональные ряды треугольника Паскаля образуют арифметические прогрессии:

 

 

Например, рассмотрим восьмой диагональный ряд (нумерация идёт от нулевого).

В нём содержатся числа: 1, 9, 45, 165, 495...

разности соседних членов этой прогрессии: 8, 36,120...

и т. д. как показано на рисунке:

Из этого можно сделать вывод, что восьмой диагональный ряд треугольника Паскаля содержит арифметическую прогрессию 8-ого порядка.

Аналогично можно доказать, что n-ый диагональный ряд содержит прогрессию n-ого порядка.