Арифметические прогрессии и фигурные числа

  Определение:  

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все члены получаются из предыдущего методом добавления к нему одного и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

 

Виды арифметических прогрессий:

Возрастающая – прогрессия, в которой каждое последующее значение членов больше предыдущего, т.е d>0.   

Например: 4, 6, 8, 10... (d = 2) 

 Стационарная – последовательность, состоящая из одного и того же повторяющего числа, т.е. когда d = 0. 

Например: 5, 5, 5, 5…

Убывающая – прогрессия, в которой каждое последующее значение членов меньше предыдущего, т.е. d<0. 

Например:  14, 11, 8, 5, 2... (d = -3)

    Арифметическую прогрессию можно задать: 

• Описанием:

 Первый член равен 2, разность равна -4

• Формулой:

x_n=n(3n-1) /2

• Рекуррентным способом:

 y_n+1 = y_n + x_n+1

• _{Графически}

Связь арифметической прогрессии с фигурными числами:

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур.

Многоугольное число представляет количество равноудалённых точек в правильном геометрическом распределении определенного типа. Выделяют:

 

• Треугольные числа

Это числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 и т.д.

Формула n-ого члена: x_n= n(n+1) /2 

Разности членов прогрессии образуют арифметическую прогрессию  первого порядка с разностью d = 1:  

    1,  2,  3,  4,  5, 6, 7, 8, 9 …

 

• Квадратные числа

Это числа: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д. 

Формула n-ого члена : x_n=n^2 . 

 Разности членов прогрессии образуют арифметическую прогрессию  первого порядка с разностью d = 2:  

    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 …

• Пятиугольные числа

Это числа, порядка: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70 и т. д.  

формула n-ого члена: x_n=n(3n-1) /2 

    Разности членов прогрессии образуют арифметическую прогрессию  первого порядка с разностью d = 3:  

    1,  4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...

 

• Шестиугольные числа

Это числа, порядка: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91 и т.д. 

формула n-ого члена : x_n=n(2n-1)

    Разности членов прогрессии образуют арифметическую прогрессию  первого порядка с разностью d = 4:  

    1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 …

• Двенадцатиугольные числа

Это числа: 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217 и т. д.

          Формула n-ого члена: x_n=5n²-4n 

Разности членов прогрессии образуют арифметическую прогрессию  первого порядка с разностью d = 2:  

    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 …

Кроме многоугольных чисел, составляющих прогрессии второго порядка, существуют еще трехмерные, четырехмерные и т. д. числа.

• Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. 
• Квадратные пирамидальные числа. Для них пирамида имеет квадратное основание.